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孤立子是数学和物理上最美丽的存在之一(待续)

我是新月，我要实现“七月流火”的相~

numerical_and_exact

absolute error

一个Poisson方程的简单测试，考虑到使用了30*30的网格，这个结果还是可以接受的。

函数库：明尼苏达大学一个牛教授的Sparsekit

爱因斯坦的那道题~
以大神之名，恐怕大部分地球人都听说过~

1、英国人住红色房子
2、瑞典人养狗
3、丹麦人喝茶
4、绿色房子在白色房子左面
5、绿色房子主人喝咖啡
6、抽Pall Mall 香烟的人养鸟
7、黄色房子主人抽Dunhill 香烟
8、住在中间房子的人喝牛奶
9、 挪威人住第一间房
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
11、养马的人住抽Dunhill 香烟的人隔壁
12、抽Blue Master的人喝啤酒
13、德国人抽Prince香烟
14、挪威人住蓝色房子隔壁
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居
谁养鱼？

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首先要做的是把信息重新排列下~
9、 挪威人住第一间房
14、挪威人住蓝色房子隔壁
4、绿色房子在白色房子左面

8、住在中间房子的人喝牛奶
5、绿色房子主人喝咖啡
1、英国人住红色房子
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居
6、抽Pall Mall 香烟的人养鸟
7、黄色房子主人抽Dunhill 香烟
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
11、养马的人住抽Dunhill 香烟的人隔壁
12、抽Blue Master的人喝啤酒
13、德国人抽Prince香烟

2、瑞典人养狗
3、丹麦人喝茶

===============================================================

第一突破口：房子位置(9+14+4)。推出排列顺序：
黄-蓝-绿-白-红
或者：
黄-蓝-红-绿-白

第一个推测不成立，因为（5）和（8）在这个排列下矛盾；所以房子排列顺序为第二个。插入可以插入的条件并从列表中删除它们（为方便香烟名称替换如下：
Dunhill-Du Blends-Bl； Pall Mall-PM； Blue Master-BM Prince-Pr）
这时我们的解答状态：

2、瑞典人养狗
3、丹麦人喝茶
6、抽PM 香烟的人养鸟
10、抽Bl香烟的人住在养猫的人隔壁
12、抽BM的人喝啤酒
13、德国人抽Pr香烟
15、抽Bl香烟的人有一个喝水的邻居

黄-蓝-红-绿-白
挪-    -英-          ——国
——-奶-咖      ——饮
Dh                     ——烟
—-马-               ——宠

===============================================================

第二突破口：信息（15）。Bl香烟不可能在白房子，因为邻居饮品是咖啡，所以只能在蓝房子，并且挪威人喝水。

2、瑞典人养狗
3、丹麦人喝茶
6、抽PM 香烟的人养鸟
10、抽Bl香烟的人住在养猫的人隔壁
12、抽BM的人喝啤酒
13、德国人抽Pr香烟

黄-蓝-红-绿-白
挪-    -英-         ——国
水-    -奶-咖    ——饮
Dh-Bl-             ——烟
—-马-             ——宠

===============================================================

这时饮+烟信息几乎满了，找限制最强的信息就是饮+烟的组合——信息12。然后是信息13、然后信息2。这道题至此已经迅速崩溃~

黄-蓝-红-绿-白
挪-丹-英-德-瑞——国
水-茶-奶-咖-啤——饮
Dh-Bl-PM-Pr-BM——烟
猫-马-鸟 狗——宠

题记：
所谓突破口自然是爱因斯坦设定的时候故意留下的，而“做出来就是2%聪明的人”也只是玩笑罢了。就算不是玩笑，2%这么大比例——解出来的成就感也是null哈~

OK… I confess I got “Einstein did it” from an unverified source (an old magazine). But this is an question I think even Einstein should be interested in [and solve it in a sec ], so…

Let me set up the scene:

We have a clock with a hour-hand and a minute-hand. And we know at certain moments we can exchange the position of these two hands and still get a valid time. The most obvious example is 12:00 o’clock when those two hands overlap. An opposite example is 6:00 o’clock — you won’t get 12:30 if you switch the hands, but get a configuration that a functional clock can never achieve!

Now the question is: during a day (0:00 am ~ 12:00 am), how many times we can make valid switches? DON’T WASTE A CHANCE FOR FUN! CLOSE THIS PAGE AND THINK ABOUT IT YOURSELF!

I once solved it several years ago using pure algebra (equations) at that time. Yesterday when I was about to sleep, this question came back to my mind and after a feeling of a flash in my mind, I got a new solution – a solution with the earliest, and most elegant branch of math – geometry.

Although I am not, but I can imagine a qualified mathematian do NOT dive into questions, but would stand aside for a while to analyze: such as making abstractions, before getting started.

===*===My Abstraction: this problem actually has nothing to do with time, because if the key is time, then this problem can be restated with a digital clock – but it can’t. So I would say this problem is a geometry problem (the angle is the key) with certain time-like constrains. Without constrains the configration space would be a Cartesian product of [0,360]*[0,360]. Any configration, making valid time or not, belongs to it. Configurations making a real time comprise a ‘subspace’. What about ‘switch’? Very simple, as commonly occurs, switch means “reflection”.===*===

For valid time: beginning from each o’clock, everytime the minute hand makes a full circle (360 degrees), the hour-hand moves 30 degree – resulting in 12 green lines.

Next reflect those lines by the red line (y=x), we get:

The solution is the number of crossings of green and blue lines: 144-1.

You should minus one, shouldn’t you?

无意中看到这样的视频：

这个人是费马最终定理的证明者，普林斯顿大学的Andrew Wiles教授。

我也跟着感动万分了……

又想，科学家为什么会信神[1]？曾经极其不理解这个矛盾。——水火不容的两种哲学，两种思想，怎能融合？！

现在有些许理解了：当历尽黑暗，忽然沐浴在真理的光芒中时，心中那难以描述的愉悦简直是来自于人间之外。

而神就此显现~所以信奉基督教的大家在虔诚祈祷的时候，心中肯定在回忆自 身那铭刻一生的体验吧~~

——当然这是我猜的，这种经历不是轻易就可以获得的。我没有。

[1]此处是个人随想，本人并不知道Prof. Andrew Wiles的信仰情况。

在小百合上看到的，十分清晰：直线一边一个点，过两点作圆，要求截取直线的弦最短。大家不要看解答，自己想一下吧先~

最初想用纯几何解决，无果。后来只能动用破坏几何纯粹性的代数了。

于是当垂足D和D’重合时，截取的弦最短。

竟然花了不少时间，大叹智力急剧下降啊！老天啊，我还没有女朋友呢！

快给我一个吧，不然就晚了~~~~~~~

说到1/3和体积，自然是圆锥或者棱锥的体积——那么这个系数是怎么来的？很简单，说到1/3和面积，想到的肯定是我们人生知道的第一个积分：

而椎体无非是一个个相似多边形堆起来的而已，只要每个多边形特征长度（例如直径、边长等）和高存在线性关系，系数是alpha，那么相应的这个多边形的面积和高成二次方关系；

这也就是那个1/3了，一般分成底面积乘以高只是为了方便而已。

白话了这么多初级玩意儿是为什么呢？前几天看到个题目，求两个相同圆柱垂直相交所成几何体的体积，当时临睡费了不少想象力把这个东西立体化。后来发现是8个全等的楔形构成的，每个楔形就是过过圆柱底面直径并和底面成45°角的平面截下来的东西。当时直接上，乘以8后结果是，第二天一看答案竟然搞错了，应当是。只好用微积分重算了楔形的体积——2/3，阴沟翻船！

原因就是楔形的每个面都是圆缺，而圆缺的面积公式比较复杂，不存在椎体那种简单关系。下面是这个楔形体从底到顶的面积“衰减”曲线和棱锥的对比：

可见不动脑子照搬公式的后果是低估了体积……

如果想象不出那个几何体形状，我一时心血来潮做了个视频，如下。另外强力建议自己再思考一下。因为有一个绝顶的好方法——完全没有复杂的东西，只有精巧。提示：球；提示：想想古希腊那些人推倒体积时候的惯用伎俩。实在想不出再点原链接吧~